課程名稱

泛函分析

英文名稱

A Course in Functional Analysis

課程編號(hào)

09_010001

學(xué)分

4

學(xué)時(shí)

72

課程類別

□公共學(xué)位課   □公共選修課   ?學(xué)科基礎(chǔ)課   □專業(yè)主干課   □專業(yè)選修課

適用專業(yè)

數(shù)學(xué)、統(tǒng)計(jì)學(xué)

適用類別

□博士   ?碩士  □專業(yè)學(xué)位

開課學(xué)院

數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院

開課學(xué)期

每學(xué)年下半學(xué)期

主講教師

王偉 高福根 等

職 稱

副教授

聯(lián)系方式

0373-3326148

輔講教師

左紅亮 楊長森 李海英等

職 稱

教授

副教授等

聯(lián)系方式

0373-3326148

考核方式

?筆試    □課程論文   □實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)   口試   ?其他：學(xué)術(shù)小報(bào)告

課程簡介

泛函分析是數(shù)學(xué)專業(yè)重要的專業(yè)基礎(chǔ)課之一,，是20世紀(jì)初從變分法,、微分方程、積分方程,、函數(shù)論和量子物理等研究中發(fā)展起來的數(shù)學(xué)分支學(xué)科,，它綜合函數(shù)論、幾何和代數(shù)的觀點(diǎn)和方法研究解決數(shù)學(xué)中提出的重要問題,。該課程是數(shù)學(xué)專業(yè)研究生課程中的核心課程,，為學(xué)生進(jìn)一步學(xué)習(xí)代數(shù)學(xué)、近代物理,、從事數(shù)學(xué)和應(yīng)用數(shù)學(xué)研究打下堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ),。

教學(xué)目的

泛函分析是從事現(xiàn)代數(shù)學(xué)研究與實(shí)際應(yīng)用必備的基礎(chǔ)課，它是空間的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)與代數(shù)結(jié)構(gòu)的有機(jī)結(jié)合,，通過這門課的教學(xué),，使研究生能夠掌握賦范線性空間，有界線性算子,，Hilbert空間和Banach空間的基本概念和理論等基礎(chǔ)知識(shí),，更重要的是掌握它的抽象思維和邏輯推理方法,，提高研究生對(duì)數(shù)學(xué)分析、拓?fù)鋵W(xué)和代數(shù)學(xué)等知識(shí)的綜合運(yùn)用能力,，為進(jìn)一步學(xué)習(xí)其它方向課奠定必備的基礎(chǔ),。

教學(xué)內(nèi)容、學(xué)時(shí)分配和教學(xué)要求

第一章    線性賦范空間（16學(xué)時(shí)）

§1（3學(xué)時(shí)）線性空間與度量空間

§2（5學(xué)時(shí)）經(jīng)典的賦范空間

§3（2學(xué)時(shí)）完備性與Baire綱定理

§4（4學(xué)時(shí)）緊性與有限維空間

§5（2學(xué)時(shí)）積空間與商空間

本章要點(diǎn)：強(qiáng)調(diào)與數(shù)學(xué)分析和線性代數(shù)之間的聯(lián)系與區(qū)別,；強(qiáng)調(diào)幾何直觀,；不動(dòng)點(diǎn)定理。

第二章    線性算子與線性泛函（18學(xué)時(shí)）

§1（1學(xué)時(shí)）線性算子的概念

§2（2學(xué)時(shí)）Riesz定理及其應(yīng)用

§3（5學(xué)時(shí)）開映象定理與閉圖像定理

§4（5學(xué)時(shí)）Hahn-Banach定理

§5（5學(xué)時(shí)）凸集的隔離性定理

本章要點(diǎn)：Hahn-Banach保范延拓定理,、一致有界原理,、逆算子定理、開映射定理,、閉圖象定理,。

第三章共軛空間與共軛算子（15學(xué)時(shí)）

§1（4學(xué)時(shí)）共軛空間及其表現(xiàn)

§2（2學(xué)時(shí)）W-收斂與W*-收斂

§3（4學(xué)時(shí)）共軛算子

§4（5學(xué)時(shí)）自反空間與一致凸空間

本章要點(diǎn)：共軛算子、自反空間與一致凸空間的相關(guān)性質(zhì),。

第四章  緊算子與Fredholm算子（9學(xué)時(shí)）

§1（2學(xué)時(shí)）緊算子的定義和基本性質(zhì)

§2（2學(xué)時(shí)）Riesz-Fredholm理論

§3（2學(xué)時(shí)）Hilbert-Schmidt定理

§4（1學(xué)時(shí)）對(duì)橢圓型方程的應(yīng)用

§5（2學(xué)時(shí)）Fredholm算子

本章要點(diǎn)：Riesz-Fredholm理論,；通過Fredholm方程經(jīng)典處理與本章中處理方法的比較，體現(xiàn)泛函分析的廣泛應(yīng)用,。

第五章  Hilbert空間幾何學(xué)（6學(xué)時(shí)）

§1（2學(xué)時(shí)）正交集與正交基

§2（2學(xué)時(shí)）正交投影

§3（2學(xué)時(shí)）共軛算子與一.五線性泛函

本章要點(diǎn)：正交投影及里斯表示定理,。

第六章  有界線性算子譜理論（8學(xué)時(shí)）

§1（2學(xué)時(shí)）逆算子與譜

§2（2學(xué)時(shí)）緊算子的譜理論

§3（2學(xué)時(shí)）自共軛算子的譜理論

§4（2學(xué)時(shí)）譜系與譜分解

本章要點(diǎn)：緊算子和自共軛算子的譜分解。

預(yù)修課程或預(yù)備知識(shí)

學(xué)習(xí)本課程需具備較扎實(shí)的數(shù)學(xué)分析和線性代數(shù)基礎(chǔ),，并對(duì)實(shí)變函數(shù)和拓?fù)鋵W(xué)有初步的了解,。

教材

張恭慶，林源渠著,， 《泛函分析講義》,，北京大學(xué)出版社，1987.

主要參考文獻(xiàn)（書籍,、期刊和網(wǎng)站）

1．夏道行,，吳卓人，嚴(yán)紹宗,，舒五昌 編著,，《實(shí)變函數(shù)論與泛函分析》下冊(cè)，高等教育出版社,，2010.

2.劉培德 編著,，《泛函分析基礎(chǔ)》，武漢大學(xué)出版社,，2002.

3.江澤堅(jiān),，孫善利 編著，《泛函分析》,，高等教育出版社,，2004.

4.王聲望,，鄭維行 編著， 《實(shí)變函數(shù)與泛函分析概要》,，高等教育出版社,，2004.

5．J. B. Conway,  A course in functional analysis, Springer-Verlag, 1990.

6．W. Rudin, Functional analysis, McGraw-Hill, New York,1973.