總學(xué)時數(shù)： 108 學(xué)分： 3+3 適用專業(yè)：經(jīng)濟管理、人文社科

一、課程教學(xué)目標

本課程的教學(xué)目標是：注意與高中知識的銜接性及各專業(yè)知識的需要性，以掌握概念，強化應(yīng)用為重點，以應(yīng)用為主要目的，貫徹拓寬基礎(chǔ)、強化能力、立足應(yīng)用的原則，保證各專業(yè)技術(shù)知識的順利學(xué)習(xí)，并為以后的進一步學(xué)習(xí)和深造打下堅實的基礎(chǔ)。教學(xué)內(nèi)容由淺入深、由易到難，循序漸進，兼顧數(shù)學(xué)本身的系統(tǒng)性，貫徹理論聯(lián)系實際的原則，強調(diào)應(yīng)用性和實用性。

二、課程的性質(zhì)、目的和任務(wù)

《高等數(shù)學(xué)（三）》是高等學(xué)校經(jīng)濟管理、人文社科類專業(yè)的一門重要主干基礎(chǔ)課程。數(shù)學(xué)是培養(yǎng)和造就各類高層次專門人才的共同基礎(chǔ)。對非數(shù)學(xué)專業(yè)的學(xué)生，大學(xué)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課程的作用至少有三方面：它是學(xué)生掌握數(shù)學(xué)工具的主要課程；它是學(xué)生培養(yǎng)理性思維的主要載體；它是學(xué)生接受美感熏陶的一種途徑。高等數(shù)學(xué)教育的目的與任務(wù)是使學(xué)生從理論、方法、能力三方面得到基本訓(xùn)練，從而為以后擴大、深化數(shù)學(xué)知識及學(xué)習(xí)后繼課程奠定基礎(chǔ)，也為學(xué)生以后從事專業(yè)技術(shù)工作奠定數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。通過本課程的教學(xué)使學(xué)生系統(tǒng)地獲得微積分、級數(shù)、常微分方程和高等數(shù)學(xué)在經(jīng)濟學(xué)中的應(yīng)用等基礎(chǔ)理論，圍繞上述理論培養(yǎng)學(xué)生的基本運算能力、抽象思維能力、邏輯推理能力以及解決實際問題的能力，即提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素質(zhì)。通過本課程的系統(tǒng)教學(xué)，特別是講授如何提出新問題、思考分析問題，逐漸培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新思維能力；通過揭示數(shù)學(xué)中的美，結(jié)合教學(xué)內(nèi)容，適當講解科學(xué)家的獻身科學(xué)的故事，加強素質(zhì)教育。

三、課程教學(xué)的基本要求

１、 正確理解下列基本概念及它們之間的聯(lián)系：

函數(shù)及其極限，無窮小，函數(shù)的連續(xù)性，導(dǎo)數(shù)，微分，不定積分，定積分，廣義積分，偏導(dǎo)數(shù)，全微分，重積分，級數(shù)及收斂性，微分 ( 差分 ) 方程及微分 ( 差分 ) 方程的解等。

２、 正確理解下列性質(zhì)、定理、公式的意義，并會應(yīng)用：

閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)，微分中值定理，微積分學(xué)基本定理， Taylor 公式，函數(shù)的 Taylor 展開式等。

３、 牢固掌握下列公式：

基本初等函數(shù)的求導(dǎo)公式，基本積分公式。

４、 熟練運用下列法則及方法：

求極限的主要方法，函數(shù)和、積、商的求導(dǎo)法則，復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則，換元積分法，分部積分法，二重積分計算方法，無窮級數(shù)的審斂法，微分方程的一些基本解法。

５、 會用微積分和常微分方程的方法解決一些幾何問題。

四、課程教學(xué)內(nèi)容

第一章 函數(shù)

[ 內(nèi)容提要 ]

§ 1.1 預(yù)備知識

實數(shù)及其幾何表示；實數(shù)的絕對值，絕對值的基本性質(zhì)，絕對值不等式；區(qū)間與鄰域的概念。

§ 1.2 函數(shù)概念

常量與變量；函數(shù)的定義與表示法，函數(shù)定義域的求法。

§ 1.3 函數(shù)的幾何特性

單調(diào)性，有界性，奇偶性，周期性。

§ 1.4 反函數(shù)

反函數(shù)的定義及其圖形，反三角函數(shù)及其主值。

§ 1.5 復(fù)合函數(shù)的定義

§ 1.6 初等函數(shù)

基本初等函數(shù)的定義、定義域、值域及其圖形。初等函數(shù)的定義。

§ 1.7 分段函數(shù)

分段函數(shù)的概念及其圖形特征。

§ 1.8 建立函數(shù)關(guān)系的例子

經(jīng)濟變量間的數(shù)量關(guān)系—經(jīng)濟函數(shù)。

總成本函數(shù)、總收入函數(shù)、總利潤函數(shù)、需求函數(shù)、供給函數(shù)等。

[ 要求與說明 ]

1. 理解實數(shù)與實數(shù)絕對值的概念，掌握解簡單絕對值不等式的方法。

2. 理解函數(shù)、函數(shù)的定義域和值域等概念，熟悉函數(shù)的表示法。

3. 了解函數(shù)的幾何特性并掌握各幾何特性的圖形特征。

4. 了解反函數(shù)的概念；知道函數(shù)與其反函數(shù)的幾何關(guān)系；給定函數(shù)會求其反函數(shù)。

5. 理解復(fù)合函數(shù)的概念；了解兩個（或多個）函數(shù)能構(gòu)成復(fù)合函數(shù)的條件；掌握將一個復(fù)合函數(shù)分解為較簡單函數(shù)的方法。

6. 理解基本初等函數(shù)及其定義域、值域等概念；掌握基本初等函數(shù)的基本性質(zhì)。

7. 理解初等函數(shù)的概念；了解分段函數(shù)的概念。

8. 會建簡單應(yīng)用問題的函數(shù)關(guān)系。

9. 本章內(nèi)容帶有復(fù)習(xí)性質(zhì)，凡中學(xué)已經(jīng)學(xué)習(xí)過的有關(guān)函數(shù)的知識，只需加以復(fù)習(xí)提高，不必再作詳細講解。

第二章 極限與連續(xù)

[ 內(nèi)容提要 ]

§ 2.1 數(shù)列的極限

數(shù)列的概念，數(shù)列極限的定義與幾何意義，數(shù)列極限的唯一性及收斂數(shù)列的有界性。

§ 2.2 函數(shù)的極限

x → x0 時，函數(shù) f(x) 的極限； x →∞時，函數(shù) f(x) 的極限；函數(shù)極限的幾何解釋；單邊極限（左、右極限， x → + ∞或 x → - ∞時，函數(shù) f(x) 的極限）。

§ 2.3 無窮小量與無窮大量

無窮小量的定義與基本性質(zhì)，無窮小量的比較；無窮大量的定義；無窮小量與無窮大量的關(guān)系。

§ 2.4 極限的四則運算

§ 2.5 極限的基本性質(zhì)：唯一性、有界性、保號性、極限不等式等。

§ 2.6 極限的存在性定理：夾逼定理，單調(diào)有界數(shù)列的極限存在性定理。

§ 2.7 兩個重要的極限

§ 2.8 函數(shù)的連續(xù)性

函數(shù)的改變量。函數(shù)的連續(xù)性，左連續(xù)與右連續(xù)；函數(shù)連續(xù)與極限的關(guān)系。

函數(shù)的間斷點及其分類。

連續(xù)函數(shù)的和、差、積、商的連續(xù)性；反函數(shù)與復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性；初等函數(shù)的連續(xù)性；分段函數(shù)的連續(xù)性。

§ 2.9 閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的基本定理：有界性定理，最值定理，介值定理。

[ 要求與說明 ]

1. 了解數(shù)列與函數(shù)極限的概念。

關(guān)于數(shù)列與函數(shù)極限的分析定義不作要求。

2. 了解無窮小量的概念和基本性質(zhì)，掌握無窮小量比較的方法；了解無窮大量的概念；知道無窮小量無窮大量的關(guān)系。

3. 知道兩個極限存在性定理，并能用于求一些簡單極限的值。

單調(diào)有界數(shù)列的極限存在性定理不證明。

4. 熟練掌握兩個重要的極限。

兩個重要極限的證明不作要求。

5. 了解函數(shù)連續(xù)性的概念，函數(shù)間斷的概念；掌握函數(shù)間斷點的分類；掌握討論簡單分段函數(shù)連續(xù)性的方法。

6. 了解連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)，理解初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)必連續(xù)的結(jié)論。

7. 了解閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的基本定理。

基本定理不證明，只作幾何說明。

8. 掌握求極限的基本方法：利用極限運算法則、無窮小量的性質(zhì)、兩個重要的極限以及函數(shù)的連續(xù)性等求極限的值。

第三章 導(dǎo)數(shù)與微分

[ 內(nèi)容提要 ]

§ 3.1 導(dǎo)數(shù)概念

變速直線運動的速度，平面曲線的切線斜率。

導(dǎo)數(shù)的定義與幾何意義，可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系。

§ 3.2 基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式

§ 3.3 導(dǎo)數(shù)的四則運算

§ 3.4 反函數(shù)與復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)；對數(shù)求導(dǎo)法

§ 3.5 高階導(dǎo)數(shù)的概念與求法

§ 3.6 微分

微分的定義與幾何意義；可導(dǎo)與可微的關(guān)系；微分法則與微分基本公式；微分形式的不變性。

§ 3.7 導(dǎo)數(shù)與微分的簡單應(yīng)用

邊際與彈性概念。

※近似計算與誤差估計。

[ 要求與說明 ]

1. 了解導(dǎo)數(shù)的概念；知道導(dǎo)數(shù)的幾何意義與經(jīng)濟意義；了解可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系。

2. 熟練掌握基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式。

3. 熟練掌握導(dǎo)數(shù)的四則運算公式。

4. 掌握反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式（反函數(shù)求導(dǎo)公式的證明不作要求）。

5. 熟練掌握復(fù)合函數(shù)的鏈式求導(dǎo)公式（證明不作要求）。

6. 掌握對數(shù)求導(dǎo)法與隱函數(shù)求導(dǎo)法。

7. 了解高階導(dǎo)數(shù)的概念，掌握求二階、三階導(dǎo)數(shù)及某些簡單函數(shù)的 n 階導(dǎo)數(shù)的方法。

8. 了解微分的概念；掌握可導(dǎo)與可微的關(guān)系，以及微分形式的不變性；熟練掌握求可微函數(shù)微分的方法。

9. 知道邊際與彈性的概念，會求解簡單的經(jīng)濟應(yīng)用題。

第四章 中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用

[ 內(nèi)容提要 ]

§ 4.1 中值定理

羅爾定理、拉格朗日定理、柯西定理。

§ 4.2 羅必塔法則與各種未定式的定值方法

§ 4.3 函數(shù)單調(diào)性的判別法

§ 4.4 函數(shù)的極值與最值

函數(shù)極值的定義，函數(shù)取極值的必要條件與充分條件。

函數(shù)最值的概念，求函數(shù)最值的基本步驟。

§ 4.5 曲線的凹凸性、拐點與漸近線

曲線凹凸性與拐點的定義，曲線凹凸性與拐點的判別法，凹凸區(qū)間與拐點的求法。

曲線漸近線的定義與求法。

§ 4.6 函數(shù)作圖的基本步驟與方法

§ 4.7 經(jīng)濟應(yīng)用舉例：最大利潤、最小成本等。

※§ 4.8 函數(shù)凹凸性的定義與判別法

[ 要求與說明 ]

1. 能敘述羅爾定理、拉格朗日定理和柯西定理，知道這些定理之間的關(guān)系，會利用這些定理證明一些簡單的證明題（如證明不等式）。有關(guān)這些定理的證明不作要求。

2. 熟練掌握羅必塔法則各種未定式的定值方法。

只證明 型未定式的羅必塔法則， 型未定式的羅必塔法則的證明不作要求。

注意羅必塔法則適用的條件。

3. 熟練掌握函數(shù)單調(diào)性的判別方法。

4. 熟練掌握求函數(shù)極值與最值的方法。了解函數(shù)極值與最值的關(guān)系與區(qū)別。會求解某些簡單的經(jīng)濟應(yīng)用問題。

5. 熟練掌握曲線凹凸性判別方法；熟練掌握求曲線拐點與漸近線的方法。

6. 掌握函數(shù)作圖的基本步驟和方法；會作某些簡單函數(shù)的圖形。

第五章 不定積分

[ 內(nèi)容提要 ]

§ 5.1 不定積分的概念

原函數(shù)概念。不定積分的定義與幾何意義。不定積分的基本性質(zhì)。

§ 5.2 基本積分表

§ 5.3 換元積分法：第一換元積分法，第二換元積分法。

§ 5.4 分部積分法

§ 5.5 有理函數(shù)的積分

※真分式的分解。

簡單分式的不定積分。

※求有理函數(shù)不定積分的一般步驟與方法。

[ 要求與說明 ]

1. 了解原函數(shù)與不定積分概念，掌握不定積分的基本性質(zhì)。

2. 熟悉基本積分表（基本積分表見附表二）。

3. 熟練掌握計算不定積分的二種換元積分法和分部積分法。

4. 會計算三種簡單的分式的不定積分：

第六章 定積分

[ 內(nèi)容提要 ]

§ 6.1 定積分的概念與性質(zhì)

曲邊梯形的面積。定積分的定義與幾何意義。

定積分的基本性質(zhì)。積分中值定理。

§ 6.2 微積分基本定理

變上限積分。原函數(shù)存在性定理。變上限積分的求導(dǎo)方法

牛頓——萊布尼茲公式。

§ 6.3 定積分的計算

定積分的第一與第二換元積分法。

定積分的分部積分法。

§ 6.4 定積分的應(yīng)用

平面圖形的面積，立體的體積，簡單的經(jīng)濟應(yīng)用。

§ 6.5 廣義積分初步

無窮積分的概念，無窮積分收斂與發(fā)散的定義，無窮積分的計算。

瑕積分的概念，瑕積分收斂與發(fā)散的定義，瑕積分的計算。

廣義積分 與 的斂散性判別。

Γ函數(shù)的定義、性質(zhì)與遞推公式。

[ 要求與說明 ]

1. 了解定積分的概念和基本性質(zhì)，掌握積分中值定理。

2. 熟練掌握牛頓—萊布尼茲公式。會求變上限積分的導(dǎo)數(shù)。

3. 熟練掌握計算定積分的換元積分公式和分部積分公式。

注意不定積分與定積分換元積分公式之間的相似性與區(qū)別。

4. 會利用定積分計算平面圖形的面積的旋轉(zhuǎn)體的體積。會利用定積分求解一些簡單的經(jīng)濟應(yīng)用題。

5. 了解廣義積分收斂與發(fā)散的概念。掌握計算收斂廣義積分的方法。

知道廣義積分 與 的斂散條件。

知道Γ函數(shù)的概念、基本性質(zhì)和遞推公式。

第七章 無窮級數(shù)

[ 內(nèi)容提要 ]

§ 7.1 無窮級數(shù)的概念與性質(zhì)

無窮級數(shù)及其一般項與部分和概念；無窮級數(shù)收斂與發(fā)散的定義；收斂級數(shù)和的概念；幾何級數(shù)與調(diào)和級數(shù)的斂散性；無窮級數(shù)收斂的必要條件；收斂級數(shù)的基本性質(zhì)。

§ 7.2 正項級數(shù)

正項級數(shù)的概念；正項級數(shù)收斂的充分必要條件；正項級數(shù)斂散性的比較判別法、達朗貝爾比值判別法； P 級數(shù)的斂散性。

※正項級數(shù)的柯西根值判別法與積分判別法。

§ 7.3 任意項級數(shù)

交錯級數(shù)的概念；交錯級數(shù)斂散性的萊布尼茲判別法。

任意項級數(shù)的絕對收斂與條件收斂的概念。絕對收斂與條件收斂的判別法。

※§ 7.4 廣義積分的斂散性判別法

無窮積分與瑕積分的比較判別法與極限判別法。廣義積分的絕對收斂性。

B 函數(shù)的定義；Γ函數(shù)與 B 函數(shù)的關(guān)系。

※§ 7.5 冪級數(shù)

函數(shù)頂級數(shù)的概念。

冪級數(shù)的概念；冪級數(shù)的收斂半徑、收斂區(qū)間以及和函數(shù)的概念；冪級數(shù)斂散性判別法；冪級數(shù)收斂半徑、收斂區(qū)間的求法；冪級數(shù)的基本性質(zhì)。

※§ 7.6 函數(shù)的冪級數(shù)展開

泰勒公式及其余項；泰勒級數(shù)與麥克勞林級數(shù)。

冪級數(shù)展開定理；將函數(shù)展成冪級數(shù)的方法（直接展開法、間接展開法）；基本初等函數(shù)的冪級數(shù)展開。

[ 要求與說明 ]

1. 了解無窮級數(shù)及其一般項、部分和、收斂與發(fā)散，以及收斂級數(shù)的和等基本概念。

2. 掌握幾何級數(shù)與 P 級數(shù)的斂散性判別條件；知道調(diào)和級數(shù)的斂散性。

3. 掌握級數(shù)收斂的必要條件，以及收斂級數(shù)的基本性質(zhì)。

4. 掌握正項級數(shù)的比較判別法；熟練掌握正項級數(shù)的達朗貝爾比值判別法。

5. 掌握交錯級數(shù)的萊布尼茲判別法。

6. 了解任意項級數(shù)絕對收斂與條件收斂的概念；掌握絕對收斂與條件收斂的判別方法。

第八章 多元函數(shù)微積分學(xué)

[ 內(nèi)容提要 ]

§ 8.1 預(yù)備知識

空間直角坐標系，空間兩點間的距離，空間曲面與曲面方程。

平面上的區(qū)域，區(qū)域的邊界，點的鄰域，開區(qū)域與閉區(qū)域等概念。

§ 8.2 多元函數(shù)的概念

多元函數(shù)的定義。

二元函數(shù)的定義域與幾何意義。

※齊次函數(shù)及其基本性質(zhì)。

二元函數(shù)的極限與連續(xù)性。

§ 8.3 偏導(dǎo)數(shù)與全微分

偏導(dǎo)數(shù)的定義與計算方法。

全微分的定義與計算方法。

§ 8.4 多元復(fù)合函數(shù)微分法與隱函數(shù)微分法

§ 8.5 高階偏導(dǎo)數(shù)的定義與求法

※§ 8.6 多元函數(shù)的泰勒公式，多元函數(shù)的線性化

§ 8.7 多元函數(shù)的極值最值

二元函數(shù)極值的定義，極值的必要條件與充分條件。

※最小二乘法。

條件極值的概念與拉格朗日乘子法。

多元函數(shù)最值的概念與求法。

§ 8.8 二重積分

曲頂柱體的休積。

二重積分的定義與基本性質(zhì)。二重積分的計算：在直角坐標系與極坐標系下計算二重積分。

※二重積分的變量替換公式。

※廣義二重積分與正態(tài)密度函數(shù)。

[ 要求與說明 ]

1. 了解空間坐標系的有關(guān)概念，會求空間兩點之間的距離。

了解平面區(qū)域、區(qū)域的邊界、點的鄰域、開區(qū)域與閉區(qū)域等概念。

2. 了解多元函數(shù)的概念。掌握二元函數(shù)的定義與表示法。

3. 知道二元函數(shù)的極限與連續(xù)性的概念。

4 ．理解多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)與全微分概念。熟練掌握求偏導(dǎo)數(shù)與全微分的方法。掌握求多元復(fù)合函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的方法。

5. 掌握由一個方程確定的隱函數(shù)的求偏導(dǎo)數(shù)的方法（例如由 F （ x,y,z ） =0 確定的隱函數(shù) z=f （ x,y ），求其偏導(dǎo)數(shù)）。

6 ．了解二元函數(shù)極值與條件極值的概念。掌握用二元函數(shù)極值存在的必要條件與充分條件求二元函數(shù)極值的方法；掌握用拉格朗日乘子法求解簡單二元函數(shù)條件極值問題的方法。

7. 了解二重積分的概念、幾何意義與基本性質(zhì)。掌握在直角坐標系與極坐標系下計算二重積分的常用方法，會計算一些簡單的二重積分。

第九章 微分方程

[ 內(nèi)容提要 ]

§ 9.1 微分方程的基本概念

微分方程的定義，微分方程的階、解（通解、特解）、定解條件和初值問題等基本概念。

§ 9.2 一階微分方程

可分離變量的方程，齊次方程，一階線性微分方程。

※可化為齊次方程的微分方程與伯努利方程。

§ 9.3 高階微分方程

n 階線性微分方程的一般形式。 N 階線性微分方程解的基本定理。

二階常系數(shù)線性微分方程的特征根解法。

※ n 階常系數(shù)線性微分方程的特征根解法。

※幾類特殊的高階微分方程的解法。

§ 9.4 微分方程在經(jīng)濟學(xué)中的簡單應(yīng)用

[ 要求與說明 ]

1. 了解微分方程的階、通解與特解等概念。

2. 掌握可分離變量方程、齊次方程和一階線性微分方程的解法。

3. 掌握二階常系數(shù)線性微分方程的解法。

4. 會求解一些簡單的經(jīng)濟應(yīng)用題。

五、本課程與其它課程的關(guān)系

高等數(shù)學(xué)是研究空間形式和數(shù)量關(guān)系的基礎(chǔ)學(xué)科。 通過本課程的學(xué)習(xí)，使學(xué)生獲得微積分的基本概念、基本理論、基本方法和運算技能，為今后學(xué)習(xí)各類后繼課程和進一步擴大數(shù)學(xué)知識面奠定必要的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。

六、教材及參考書

本教學(xué)大綱是根據(jù)中國人民大學(xué)《微積分》 --- 經(jīng)濟應(yīng)用數(shù)學(xué)（陳國輝、遲旭升主編，人民大學(xué)出版社）編寫的，該課程的教學(xué)參考資料為《高等數(shù)學(xué)》第五版（同濟大學(xué)出版社）。

七、主要教學(xué)方法與媒體要求

由于本課程是一門實踐性和技能性較強的課程，運用多種教學(xué)媒體、采用多種教學(xué)形式組織教學(xué)。除文字教材應(yīng)該力求通俗易懂、便于自學(xué)以外，網(wǎng)絡(luò)課程應(yīng)充分發(fā)揮其特長，多用一些動畫、圖表、字幕等手段對重點、難點問題進行講解和說明。應(yīng)特別注意對作業(yè)的批改和講評，有條件還可以安排進行數(shù)學(xué)實驗。

制訂：信息管理與信息系統(tǒng)教研室

執(zhí)筆人：張建海

審定人：劉保才