人工智能在研究生《隨機(jī)過(guò)程》課程教學(xué)中的應(yīng)用與實(shí)踐

摘要：隨機(jī)過(guò)程在數(shù)學(xué)、物理學(xué)、工程學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)以及其他多個(gè)學(xué)科領(lǐng)域中都具有極其重要的地位。它是描述隨時(shí)間或空間變化的隨機(jī)現(xiàn)象的數(shù)學(xué)工具，通過(guò)定義在某種概率空間上的隨機(jī)變量族來(lái)刻畫(huà)這些現(xiàn)象。維納過(guò)程作為隨機(jī)過(guò)程中重要的一部分在數(shù)學(xué)中同樣具有非常重要的地位。它在隨機(jī)信號(hào)分析、經(jīng)濟(jì)學(xué)和信號(hào)處理、圖像處理領(lǐng)域的研究中是不可或缺的。在應(yīng)用數(shù)學(xué)中，維納過(guò)程可以描述高斯白噪聲的積分形式。在電子工程中，維納過(guò)程是建立噪音的數(shù)學(xué)模型的重要部分，電子元器件在恒溫下的熱噪聲也是一種維納過(guò)程。控制論中，維納過(guò)程可以用來(lái)表示不可知因素。近年來(lái)，人工智能（AI）不僅改變了人們的生活方式，還對(duì)社會(huì)、經(jīng)濟(jì)、科技等領(lǐng)域產(chǎn)生了深遠(yuǎn)的影響。將人工智能應(yīng)用到隨機(jī)過(guò)程教學(xué)中，可以產(chǎn)生深遠(yuǎn)的影響。針對(duì)隨機(jī)過(guò)程中維納過(guò)程的特點(diǎn)，本案例通過(guò)追根溯源，將維納過(guò)程的來(lái)龍去脈，研究過(guò)程及其定義和特點(diǎn)進(jìn)行詳細(xì)分析，同時(shí)采用建模的方法設(shè)計(jì)了一個(gè)維納過(guò)程演示的小程序，通過(guò)程序演示更直觀地觀察了離散型維納過(guò)程的演示過(guò)程和結(jié)果，通過(guò)對(duì)不同參數(shù)的設(shè)置，更加直觀地了解維納過(guò)程的過(guò)程及特點(diǎn)，加深對(duì)維納過(guò)程理論知識(shí)和概念的掌握，同時(shí)對(duì)維納過(guò)程的規(guī)律有了進(jìn)一步深入的理解；進(jìn)一步通過(guò)matlab編程，將維納過(guò)程通過(guò)計(jì)算機(jī)仿真，便于在信號(hào)處理時(shí)能更好地分析和模擬維納過(guò)程。最后，案例通過(guò)列舉維納過(guò)程在股票價(jià)格和圖像信號(hào)處理中的應(yīng)用，使得將純理論的知識(shí)應(yīng)用到實(shí)踐中，更加深刻感受到知識(shí)來(lái)源于生活，應(yīng)用于生活，理論來(lái)源于實(shí)際，應(yīng)用于實(shí)際的道理。

關(guān)鍵詞：布朗運(yùn)動(dòng)；維納過(guò)程；人工智能；數(shù)學(xué)建模；仿真，應(yīng)用

1.引言

維納過(guò)程（Wiener process）作為一種具有連續(xù)時(shí)間參數(shù)和連續(xù)狀態(tài)空間的基本隨機(jī)過(guò)程，其理論不僅在概率論與隨機(jī)過(guò)程學(xué)科中占有相當(dāng)重要的地位，而且是刻畫(huà)金融資產(chǎn)價(jià)格隨時(shí)間演變過(guò)程的重要數(shù)學(xué)工具，在金融領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用。1827年，英國(guó)植物學(xué)家Brown利用顯微鏡觀察察漂浮在平靜的液面上的微小粒子時(shí)，發(fā)現(xiàn)微粒在不停地做無(wú)規(guī)則運(yùn)動(dòng)，這種現(xiàn)象后來(lái)就被稱(chēng)為布朗運(yùn)動(dòng)。Einstein在1905年首先使用統(tǒng)計(jì)方法對(duì)布朗運(yùn)動(dòng)進(jìn)行了定量研究，通過(guò)可測(cè)量物理量來(lái)研究布朗運(yùn)動(dòng)的宏觀統(tǒng)計(jì)特性，建立了布朗運(yùn)動(dòng)的物理模型。1923年，美國(guó)數(shù)學(xué)家Wiener將Einstein的布朗運(yùn)動(dòng)物理模型抽象為一個(gè)純粹的隨機(jī)過(guò)程數(shù)學(xué)模型，因此,布朗運(yùn)動(dòng)也被稱(chēng)為維納過(guò)程，維納過(guò)程是布朗運(yùn)動(dòng)的數(shù)學(xué)模型。

布朗的發(fā)現(xiàn)是一個(gè)新奇的現(xiàn)象，它的原因是什么？人們是迷惑不解的。在布朗之后，這一問(wèn)題一再被提出，為此有許多學(xué)者進(jìn)行過(guò)長(zhǎng)期的研究。一些早期的研究者簡(jiǎn)單地把它歸結(jié)為熱或電等外界因素引起的。最早隱約指向合理解釋的是維納（1826——1896），1863年他提出布朗運(yùn)動(dòng)起源于分子的振動(dòng)，他還公布了首次對(duì)微粒速度與粒度關(guān)系的觀察結(jié)果。不過(guò)他的分子模型還不是現(xiàn)代的模型，他看到的實(shí)際上是微粒的位移，并不是振動(dòng)。

在維納之后，S·埃克斯納也測(cè)定了微粒的移動(dòng)速度。他提出布朗運(yùn)動(dòng)是由于微觀范圍的流動(dòng)造成的，他沒(méi)有說(shuō)明這種流動(dòng)的根源，但他看到在加熱和光照使液體粘度降低時(shí)，微粒的運(yùn)動(dòng)加劇了。就這樣，維納和S·埃克斯納都把布朗運(yùn)動(dòng)歸結(jié)為物系自身的性質(zhì)。這一時(shí)期還有康托尼，他試圖在熱力理論的基礎(chǔ)上解釋布朗運(yùn)動(dòng)，認(rèn)為微粒可以看成是巨大分子，它們與液體介質(zhì)處于熱平衡，它們與液體的相對(duì)運(yùn)動(dòng)起源于滲透作用和它們與周?chē)后w之間的相互作用。
　　到了70——80年代，一些學(xué)者明確地把布朗運(yùn)動(dòng)歸結(jié)為液體分子撞擊微粒的結(jié)果，這些學(xué)者有卡蓬內(nèi)爾、德?tīng)査骱吞萑鸢海€有耐格里。植物學(xué)家耐格里(1879)從真菌、細(xì)菌等通過(guò)空氣傳播的現(xiàn)象，認(rèn)為這些微粒即使在靜止的空氣中也可以不沉。聯(lián)系到物理學(xué)中氣體分子以很高速度向各方向運(yùn)動(dòng)的結(jié)論，他推測(cè)在陽(yáng)光下看到的飛舞的塵埃是氣體分子從各方向撞擊的結(jié)果。他說(shuō)：“這些微小塵埃就象彈性球一樣被擲來(lái)擲去，結(jié)果如同分子本身一樣能保持長(zhǎng)久的懸浮。”不過(guò)耐格里又放棄了這一可能達(dá)到正確解釋的途徑，他計(jì)算了單個(gè)氣體分子和塵埃微粒發(fā)生彈性碰撞時(shí)微粒的速度，結(jié)果要比實(shí)際觀察到的小許多數(shù)量級(jí)，于是他認(rèn)為由于氣體分子運(yùn)動(dòng)的無(wú)規(guī)則性，它們共同作用的結(jié)果不能使微粒達(dá)到觀察速度值，而在液體中則由于介質(zhì)和微粒的摩擦阻力和分子間的粘附力，分子運(yùn)動(dòng)的設(shè)想不能成為合適的解釋。

1874——1880年間，卡蓬內(nèi)爾、德耳索和梯瑞昂的工作解決了耐格里遇到的難題。這里的關(guān)鍵是他們認(rèn)為由于分子運(yùn)動(dòng)的無(wú)規(guī)則性和分子速度有一分布，在液體或氣體中的微觀尺度上存在密度和壓力的漲落。這種漲落在宏觀尺度上抵消掉了。但是如果壓方面足夠微小，這種不均勻性就不能抵消，液體中的相應(yīng)的擾動(dòng)就能表現(xiàn)出來(lái)。因此懸浮在液體中的微粒只要足夠小，就會(huì)不停地振蕩下去。卡蓬內(nèi)爾明確地指出唯一影響此效應(yīng)的因素是微粒的大小，不過(guò)他把這種運(yùn)動(dòng)主要看成振蕩，而德耳索根據(jù)克勞修斯把分子運(yùn)動(dòng)歸結(jié)為平動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)的觀點(diǎn)，認(rèn)為微粒的運(yùn)動(dòng)是無(wú)規(guī)則位移，這是德耳索的主要貢獻(xiàn)。

此后，古伊在1888——1895年期間對(duì)布朗運(yùn)動(dòng)進(jìn)行過(guò)大量的實(shí)驗(yàn)觀察。古伊對(duì)分子行為的描述并不比卡蓬內(nèi)爾等人高明，他也沒(méi)有弄清漲落的見(jiàn)解。不過(guò)他的特別之處是他強(qiáng)調(diào)的不是對(duì)布朗運(yùn)動(dòng)的物理解釋?zhuān)前巡祭蔬\(yùn)動(dòng)作為探究分子運(yùn)動(dòng)性質(zhì)的一個(gè)工具。他說(shuō)：“布朗運(yùn)動(dòng)表明，并不是分子的運(yùn)動(dòng)，而是從分子運(yùn)動(dòng)導(dǎo)出的一些結(jié)果能向我們提供直接的和可見(jiàn)的證據(jù)，說(shuō)明對(duì)熱本質(zhì)假設(shè)的正確性。按照這樣的觀點(diǎn)，這一現(xiàn)象的研究承擔(dān)了對(duì)分子物理學(xué)的重要作用。”古伊的文獻(xiàn)產(chǎn)生過(guò)重要的影響，所以后來(lái)貝蘭把布朗運(yùn)動(dòng)正確解釋的來(lái)源歸功于古伊。

到了1900年，F·埃克斯納完成了布朗運(yùn)動(dòng)前期研究的最后工作。他用了許多懸濁液進(jìn)行了和他的父親S·埃克斯納30年前作過(guò)的同類(lèi)研究。他測(cè)定了微粒在1min內(nèi)的位移，與前人一樣，證實(shí)了微粒的速度隨粒度增大而降低，隨溫度升高而增加。他清楚地認(rèn)識(shí)到微粒作為巨大分子加入了液體分子的熱運(yùn)動(dòng)，指出從這一觀點(diǎn)出發(fā)“就可以得出微粒的動(dòng)能和溫度之間的關(guān)系。”他說(shuō)：“這種可見(jiàn)的運(yùn)動(dòng)及其測(cè)定值對(duì)我們清楚了解液體內(nèi)部的運(yùn)動(dòng)會(huì)有進(jìn)一步的價(jià)值”。

以上是1900年前對(duì)布朗運(yùn)動(dòng)研究的基本情況。自然，這些研究與分子運(yùn)動(dòng)論的建立是密切相關(guān)的。由麥克斯威和玻爾茲曼在60——70年代建立的氣體分子運(yùn)動(dòng)論在概念上的一個(gè)重大發(fā)展是拋棄了對(duì)單個(gè)分子進(jìn)行詳細(xì)跟蹤的方法，而代之以對(duì)大量分子的統(tǒng)計(jì)處理，這為弄清布朗運(yùn)動(dòng)的根源打下了基礎(chǔ)。與布朗運(yùn)動(dòng)的研究有密切關(guān)系的還有在60年代由格雷哈姆建立的膠體科學(xué)。所謂膠體是由粒度介于宏觀粒子和微觀分子之間的微粒形成的分散體系，布朗運(yùn)動(dòng)正是膠體粒子在液體介質(zhì)中表現(xiàn)的運(yùn)動(dòng)。

對(duì)于布朗運(yùn)動(dòng)的研究，1900年是個(gè)重要的分界線。至此，布朗運(yùn)動(dòng)的適當(dāng)?shù)奈锢砟Ｐ鸵呀?jīng)顯明，剩下的問(wèn)題是需要作出定量的理論描述了。

以W(t)表示運(yùn)動(dòng)中一微粒從時(shí)刻t=0到時(shí)刻t>0的位移的橫坐標(biāo)（同樣也可設(shè)縱坐標(biāo)）且設(shè)W(0) =0。根據(jù)愛(ài)因斯1905年提出的理論，微粒的這種運(yùn)動(dòng)是由于受到大量隨機(jī)的，相互獨(dú)立的分子碰撞的結(jié)果。于是，粒子在時(shí)段(s，t]（與相繼兩次碰撞的時(shí)間間隔相比是很大的量）上的位移可看作是許多微小位移的代數(shù)和，則W(t)-W(s)服從正態(tài)分布。

顯然，依中心極限定理，假定位移W(t)-W(s)為正態(tài)分布是合理的。其次，由于粒子的運(yùn)動(dòng)完全是由液體分子的碰撞而引起的。這樣，在不相互重疊的時(shí)間間隔內(nèi)，碰撞的次數(shù)、大小和方向可假定是相互獨(dú)立的，這就是說(shuō)位移W(t)具有獨(dú)立的增量。另外，液面處于平衡以態(tài)，這時(shí)粒子在一時(shí)段上位移的概率分布可以認(rèn)為只依賴(lài)于這時(shí)段的長(zhǎng)度，而與觀察的起始時(shí)刻無(wú)關(guān)，即W(t)具有平穩(wěn)增量。

詳細(xì)分析過(guò)程見(jiàn)下面附件

附件：人工智能在研究生《隨機(jī)過(guò)程》課程教學(xué)中的應(yīng)用與實(shí)踐.pdf